مسئله احتمال انتخاب ببر 🦁

🎉 سلام! بیایید با هم این مسئله جذاب را حل کنیم. در یک باغ وحش، تعدادی شیر، ببر و پلنگ وجود دارند. می‌خواهیم بدانیم اگر به طور تصادفی یک حیوان انتخاب شود و معلوم شود که شیر نیست، احتمال اینکه ببر باشد چقدر است؟ 🤔

صورت مسئله 📝

در یک باغ وحش 5 شیر، 3 ببر و 2 پلنگ وجود دارد. اگر یک حیوان به طور تصادفی انتخاب شود و معلوم شود که شیر نیست، احتمال اینکه ببر باشد چقدر است؟ 🐅

روش اول: حل با استفاده از تعریف احتمال شرطی 🧐

برای حل این مسئله می‌توانیم از مفهوم احتمال شرطی استفاده کنیم. احتمال شرطی به ما می‌گوید که اگر یک رویداد اتفاق افتاده باشد، احتمال وقوع رویداد دیگری چقدر است.

در اینجا:

• رویداد A: انتخاب ببر
• رویداد B: انتخاب نشدن شیر (یعنی انتخاب ببر یا پلنگ)

ما می‌خواهیم P(A|B) را محاسبه کنیم، یعنی احتمال انتخاب ببر به شرط اینکه شیر انتخاب نشده باشد.

فرمول احتمال شرطی به این صورت است:

$$P\left(A\right|B)=\frac{P(A\cap B)}{P\left(B\right)}$$

حالا مقادیر را محاسبه می‌کنیم:

• P(A ∩ B): احتمال انتخاب ببر و عدم انتخاب شیر. این همان احتمال انتخاب ببر است، زیرا اگر ببر انتخاب شود، قطعاً شیر انتخاب نشده است. بنابراین P(A ∩ B) = P(A) = 3/10
• P(B): احتمال انتخاب نشدن شیر. این برابر است با احتمال انتخاب ببر یا پلنگ. بنابراین P(B) = (3 + 2)/10 = 5/10 = 1/2

حالا مقادیر را در فرمول قرار می‌دهیم:

$$P\left(A\right|B)=\frac{3/10}{5/10}=\frac{3}{5}=0.6$$

بنابراین، احتمال اینکه حیوان انتخاب شده ببر باشد، به شرطی که شیر نباشد، برابر با 0.6 یا 60% است. 🎉

روش دوم: حل با استفاده از فضای نمونه کاهش یافته 🧐

در این روش، ما ابتدا فضای نمونه را محدود می‌کنیم تا فقط شامل حیواناتی باشد که شیر نیستند. سپس احتمال انتخاب ببر را در این فضای نمونه جدید محاسبه می‌کنیم.

فضای نمونه اولیه: {شیر1, شیر2, شیر3, شیر4, شیر5, ببر1, ببر2, ببر3, پلنگ1, پلنگ2} (تعداد کل حیوانات = 10)

فضای نمونه کاهش یافته (با حذف شیرها): {ببر1, ببر2, ببر3, پلنگ1, پلنگ2} (تعداد حیوانات غیرشیر = 5)

حالا احتمال انتخاب ببر در فضای نمونه کاهش یافته را محاسبه می‌کنیم:

P(انتخاب ببر | شیر انتخاب نشده) = (تعداد ببرها) / (تعداد حیوانات غیرشیر) = 3/5 = 0.6

باز هم، احتمال اینکه حیوان انتخاب شده ببر باشد، به شرطی که شیر نباشد، برابر با 0.6 یا 60% است. ✨

روش سوم: حل با استفاده از جدول احتمالات 🧐

می‌توانیم یک جدول احتمالات برای درک بهتر مسئله ایجاد کنیم.

	شیر (5)	ببر (3)	پلنگ (2)	مجموع
انتخاب حیوان	5/10	3/10	2/10	10/10 = 1
شیر انتخاب نشده	0	3/10	2/10	5/10

از جدول بالا، می‌بینیم که احتمال انتخاب نشدن شیر برابر با 5/10 است. همچنین، احتمال اینکه ببر انتخاب شود به شرطی که شیر انتخاب نشده باشد، برابر با 3/5 = 0.6 است. 🌟

نتیجه‌گیری نهایی 🎉

با استفاده از هر سه روش، به این نتیجه رسیدیم که اگر یک حیوان به طور تصادفی از باغ وحش انتخاب شود و معلوم شود که شیر نیست، احتمال اینکه ببر باشد برابر با 60% است. امیدوارم این توضیحات کامل و تشریحی برای شما مفید بوده باشد! 😊

توضیح اصطلاحات کلیدی 📚

• احتمال (Probability): شانس وقوع یک رویداد.
• احتمال شرطی (Conditional Probability): احتمال وقوع یک رویداد به شرط وقوع رویداد دیگر.
• فضای نمونه (Sample Space): مجموعه تمام نتایج ممکن یک آزمایش تصادفی.